Cálculo Exemplos

$(y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21) d x + (5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 4 x^{3} y^{4}$ em relação a $y$ é $- 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 10 x y]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 10 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 10 x y$ em relação a $y$ é $- 10 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d y} [- 21]$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.6.1

Como $- 21$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 21$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Etapa 1.6.2

Some $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x y^{4}$ em relação a $x$ é $5 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 4 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{4} y^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.6

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 2.6.1

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.6.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d x} [42]$

Etapa 2.7

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Etapa 2.8

Simplifique.

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Etapa 2.8.1

Some $5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$

Etapa 2.8.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21 d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int y^{5} d x + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.3

Como $- 4 y^{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4 y^{4}$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} \int x^{3} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.5

Como $- 10 y$ é constante com relação a $x$ , mova $- 10 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y \int x d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Etapa 5.7

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Etapa 5.8

Simplifique.

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Etapa 5.8.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Etapa 5.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Etapa 5.9

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C - 21 x + C$

Etapa 5.10

Simplifique.

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y^{5} x]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y^{5} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$x (5 y^{4}) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.3.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$5 x y^{4} + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x^{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{4} x^{4}$ em relação a $y$ é $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$5 x y^{4} - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 x y^{4} - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.5

Avalie $\frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}]$ .

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Etapa 8.5.1

Como $- 5 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 y x^{2}$ em relação a $y$ é $- 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.6

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y^{2} x]$ .

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Etapa 8.6.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2} x$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.6.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.7

Como $- 21 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 21 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.8

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.9

Simplifique.

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Etapa 8.9.1

Some $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y$ e $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 8.9.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 5 x^{2} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $5 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $5 y^{4} x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x$

Etapa 9.1.3

Some $4 x^{4} y^{3}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $4 x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5

Combine os termos opostos em $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$ .

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Etapa 9.1.5.1

Some $- 5 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5.2

Some $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5.3

Reorganize os fatores nos termos $5 x y^{4}$ e $- 5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5.4

Subtraia $5 y^{4} x$ de $5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5.5

Some $- 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Etapa 9.1.5.6

Some $- 4 x^{4} y^{3}$ e $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 + 0 - 4 x y$

Etapa 9.1.5.7

Some $4 x y + 42$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 - 4 x y$

Etapa 9.1.5.8

Subtraia $4 x y$ de $4 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 42$

Etapa 9.1.5.9

Some $0$ e $42$ .

$\frac{d g}{d y} = 42$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $42$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 42$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 42 d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 42 d y$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = 42 y + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + 42 y + C$