Cálculo Exemplos

$\frac{d u}{d r} = \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $1 + \sqrt{u}$ .

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $1 + \sqrt{u}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 1 + \sqrt{r}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(1 + \sqrt{u}) d u = (1 + \sqrt{r}) d r$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 1 + \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d u + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da constante.

$u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.2.6

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int d r + \int \sqrt{r} d r$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Etapa 2.3.3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{r}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $r^{\frac{1}{2}}$ com relação a $r$ é $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + K$