Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d t}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- t}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores em $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{3}$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Etapa 7.3

Como $- 3$ é constante com relação a $t$ , mova $- 3$ para fora da integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Etapa 7.5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{2}$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Etapa 7.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Etapa 7.7

Como $- 2$ é constante com relação a $t$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Etapa 7.8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Etapa 7.9

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Etapa 7.10

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Etapa 7.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Etapa 7.11.2

Multiplique $\int e^{- t} d t$ por $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Etapa 7.12

Deixe $u = - t$ . Depois, $d u = - d t$ , então, $- d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.1

Deixe $u = - t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.12.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 7.12.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.12.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Etapa 7.13

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Etapa 7.14

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Etapa 7.15

Reescreva $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ como $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Etapa 7.16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ por $e^{- t}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ por $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $- t^{3}$ por $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.6

Fatore $e^{- t}$ de $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.6.1

Fatore $e^{- t}$ de $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.6.2

Fatore $e^{- t}$ de $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.6.3

Fatore $e^{- t}$ de $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.6.4

Fatore $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.2.6.5

Fatore $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Divida $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ por $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.5.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.1.5.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$