Cálculo Exemplos

$(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} + 3 x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} + 3 x y^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 3 x y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x y^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y^{3}$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 3 x (3 y^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 9 x y^{2}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 9 y^{2} x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 1 - x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y$

Etapa 2.4

Subtraia $y$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $9 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$9 y^{2} x + 2 y = - y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$9 y^{2} x + 2 y = - y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $9 y^{2} x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y^{2} + 3 x y^{3}$ por $M$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $y^{2} + 3 x y^{3}$ por $M$ .

$\frac{- y - (9 y^{2} x + 2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- y - (9 y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - (2 y)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- y - 9 (y^{2} x) - 2 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $- y$ .

$\frac{- 9 y^{2} x - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5

Fatore $3 y$ de $- 9 y^{2} x - 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Fatore $3 y$ de $- 9 y^{2} x$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) - 3 y}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.2

Fatore $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.2.5.3

Fatore $3 y$ de $3 y (- 3 y x) + 3 y (- 1)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $3 x y^{3}$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{3 y (- 3 y x - 1)}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $y$ e $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Fatore $y$ de $3 y (- 3 y x - 1)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y^{2} (1 + 3 x y)}$

Etapa 4.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} (1 + 3 x y)$ .

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

Etapa 4.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 (- 3 y x - 1))}{y (y (1 + 3 x y))}$

Etapa 4.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- 3 y x - 1)}{y (1 + 3 x y)}$

Etapa 4.3.5

Reordene os termos.

$\frac{3 (- 3 x y - 1)}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6

Cancele o fator comum de $- 3 x y - 1$ e $3 x y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x y$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1)}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y) - 1 (1))}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (3 x y) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.4

Reescreva $- (3 x y + 1)$ como $- 1 (3 x y + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.5

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- 1 (3 x y + 1))}{y (3 x y + 1)}$

Etapa 4.3.6.6

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot (- 1)}{y}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{y}$

Etapa 4.3.8

Substitua $y^{2} + 3 x y^{3}$ por $M$ .

$- \frac{3}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{y} d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| y |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 3})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 3} + C$

Etapa 5.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{3}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(y^{2} + 3 x y^{3}) d x + (1 - x y) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique $y^{2} + 3 x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$(y^{2} + 3 x y^{3}) \frac{1}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $y^{2} + 3 x y^{3}$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{2} + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} + 3 x y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + 3 x y^{3}}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Fatore $y^{2}$ de $3 x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (3 x y)$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{3}} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (1 + 3 x y)}{y^{2} y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $1 - x y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + (1 - x y) \frac{1}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $1 - x y$ por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + 3 x y}{y} d x + \frac{1 - x y}{y^{3}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1 + 3 x y}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1 + 3 x y}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a fração em diversas frações.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} + \frac{3 x y}{y} d x$

Etapa 8.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int \frac{3 x y}{y} d x$

Etapa 8.3.2

Divida $3 x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x + \int 3 x d x$

Etapa 8.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C + \int 3 x d x$

Etapa 8.5

Combine $\frac{1}{y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + \int 3 x d x$

Etapa 8.6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 \int x d x$

Etapa 8.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C + 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.8

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 8.9

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.4

Como $\frac{3}{2} x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.6.2.2

Some $- \frac{x}{y^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 11.6.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = \frac{1 - x y}{y^{3}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{1 - x y}{y^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Para escrever $\frac{d g}{d y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{3}}{y^{3}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} - \frac{1 - x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - (1 - x y)}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 \cdot 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 - (- x y)}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3

Multiplique $- (- x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 1 (x y)}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.4.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Para escrever $- \frac{x}{y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $y^{3}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.1

Multiplique $\frac{x}{y^{2}}$ por $\frac{y}{y}$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.2.1

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.6.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- \frac{x y}{y^{2} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{x y}{y^{2 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{x y}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x y + \frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + x y}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.8.1

Some $- x y$ e $x y$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 + 0}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.1.8.2

Some $\frac{d g}{d y} y^{3} - 1$ e $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3} - 1}{y^{3}} = 0$

Etapa 12.1.2

Defina o numerador como igual a zero.

$\frac{d g}{d y} y^{3} - 1 = 0$

Etapa 12.1.3

Resolva a equação para $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$

Etapa 12.1.3.2

Divida cada termo em $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ por $y^{3}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.1

Divida cada termo em $\frac{d g}{d y} y^{3} = 1$ por $y^{3}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{3}}{y^{3}} = \frac{1}{y^{3}}$

Etapa 12.1.3.2.2.1.2

Divida $\frac{d g}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $\frac{1}{y^{3}}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y^{3}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y^{3}} d y$

Etapa 13.3

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (y) = \int {(y^{3})}^{- 1} d y$

Etapa 13.4

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 13.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = \int y^{3 \cdot - 1} d y$

Etapa 13.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$g (y) = \int y^{- 3} d y$

Etapa 13.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} y^{- 2} + C$

Etapa 13.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.6.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 13.6.2

Simplifique.

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Etapa 13.6.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C$

Etapa 13.6.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 \cdot y^{2}} + C$

Etapa 13.6.2.3

Multiplique $2$ por $y^{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$

Etapa 15

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C$