Cálculo Exemplos

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.7

Como $5 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 x y$ em relação a $y$ é $5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.10

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.12

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

Etapa 1.13

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

Etapa 1.14

Some $4 y + 5 x - 2$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

Etapa 1.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Etapa 1.15.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Etapa 1.15.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 1.15.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

Etapa 1.15.3

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 2 y - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.6

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

Etapa 2.3.10

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1

Multiplique $2 x + 2 y - 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

Etapa 2.3.10.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $10 x + 8 y - 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $4 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $10 x + 8 y - 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $4 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x (2 x + 2 y - 1)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x (2 x + 2 y - 1)$ por $N$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $4 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 y$ de $8 y$ .

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.5

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $3$ de $6 x + 6 y - 3$ .

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Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $3$ de $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $3$ de $6 y$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.6.4

Fatore $3$ de $3 (2 x) + 3 (2 y)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.2.6.5

Fatore $3$ de $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $2 x + 2 y - 1$ .

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Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 5.3

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Etapa 5.4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ pelo fator de integração $x^{3}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ por $x^{3}$ .

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.3.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Mova $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 6.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.5.3

Some $3$ e $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x (2 x + 2 y - 1)$ por $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Mova $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.7.3

Some $3$ e $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Etapa 6.8

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.9.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Etapa 6.9.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.10

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1.1

Mova $x$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.10.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.10.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.10.1.3

Some $1$ e $4$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Etapa 6.10.2

Reescreva $- 1 x^{4}$ como $- x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Etapa 8.3

Como $2 x^{4}$ é constante com relação a $y$ , mova $2 x^{4}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

Etapa 8.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

Etapa 8.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

Etapa 8.6

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{5} y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $5$ por $2$ .

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ .

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Etapa 11.4.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{4} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.4.3

Mova $4$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

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Etapa 11.5.1

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4} y$ em relação a $x$ é $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.5.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 11.7

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Subtraia $10 x^{4} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

Etapa 12.1.2

Subtraia $4 x^{3} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

Etapa 12.1.3

Some $4 x^{3} y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4

Combine os termos opostos em $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

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Etapa 12.1.4.1

Subtraia $10 x^{4} y$ de $10 x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.2

Some $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.3

Reorganize os fatores nos termos $4 y^{2} x^{3}$ e $- 4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.4

Subtraia $4 x^{3} y^{2}$ de $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.5

Some $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.6

Reorganize os fatores nos termos $- 4 y x^{3}$ e $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Etapa 12.1.4.7

Some $- 4 x^{3} y$ e $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

Etapa 12.1.4.8

Some $8 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $8 x^{3}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

Etapa 13.3

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

Etapa 13.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 13.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 13.5.1

Reescreva $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 13.5.2

Simplifique.

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Etapa 13.5.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

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Etapa 13.5.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.5.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Etapa 13.5.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$g (x) = 2 x^{4} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$