Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = y + 5 t$

Etapa 1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} - y = 5 t$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = - 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 d t}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{- t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- t}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- t}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} (5 t)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} (5 t)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = 5 e^{- t} t$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = 5 t e^{- t}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = 5 t e^{- t}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int 5 t e^{- t} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{- t} y = \int 5 t e^{- t} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $5$ é constante com relação a $t$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{- t} y = 5 \int t e^{- t} d t$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t)$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t)$

Etapa 7.4

Simplifique.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $\int e^{- t} d t$ por $1$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t)$

Etapa 7.5

Deixe $u = - t$ . Depois, $d u = - d t$ , então, $- d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u = - t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 7.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u)$

Etapa 7.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u)$

Etapa 7.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{- t} y = 5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$

Etapa 7.8

Reescreva $5 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C))$ como $5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{u}) + C$

Etapa 7.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ por $e^{- t}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{- t} y = 5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C$ por $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- t}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{5 (- t e^{- t} - e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5 (- t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{- 5 (t e^{- t}) + 5 (- e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y = \frac{- 5 t e^{- t} - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique com fatoração.

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Etapa 8.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- 5 t e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - 5 e^{- t} + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 5 e^{- t}$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (5 t e^{- t}) - (5 e^{- t})$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) + C}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.4

Fatore $- 1$ de $C$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.5

Fatore $- 1$ de $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t}) - 1 (- C)$ .

$y = \frac{- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.3.3.6.1

Reescreva $- (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ como $- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)$ .

$y = \frac{- 1 (5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C)}{e^{- t}}$

Etapa 8.3.3.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 t e^{- t} + 5 e^{- t} - C}{e^{- t}}$