Cálculo Exemplos

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $x y d x$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $\sqrt{1 + x^{2}}$ de $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Etapa 3.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Etapa 3.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

Etapa 3.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ por $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 3.7.2

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Etapa 3.7.3

Eleve $\sqrt{1 + x^{2}}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

Etapa 3.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

Etapa 3.7.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

Etapa 3.7.6

Reescreva ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ como $1 + x^{2}$ .

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Etapa 3.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Etapa 3.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Etapa 3.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Etapa 3.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Etapa 3.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

Etapa 3.7.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u = 1 + x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

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Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{u}}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Etapa 4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Etapa 4.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.5.2.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.2.2

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.5.2.2.1

Multiplique $u$ por $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.3.5.2.2.1.1

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 4.3.5.3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.5.3.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.3.5.3.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.5.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.3.5.3.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 4.3.5.3.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Reescreva $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.3.7.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7.2.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 5.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Reescreva $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ como $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$