Cálculo Exemplos

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \frac{2}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Etapa 3.4

Como $\frac{2}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Etapa 3.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$1 = 1$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Etapa 6

Integre $M (x, y) = y$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = y x + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 10.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Etapa 10.1.2

Combine os termos opostos em $x + \frac{2}{y} - x$ .

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Etapa 10.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Etapa 10.1.2.2

Some $\frac{2}{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $\frac{2}{y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Etapa 11.3

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Etapa 11.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Etapa 11.5

Simplifique.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 12

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1

Simplifique $2 \ln (| y |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Etapa 13.2

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$