Cálculo Exemplos

$(x + y \cos (x)) d x + (\sin (x)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x + y \cos (x)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y \cos (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y \cos (x)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y \cos (x)$ em relação a $y$ é $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x)$

Etapa 1.4

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $\cos (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\cos (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (x) = \cos (x)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = \sin (x)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y \cos (x)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + g (x)] = x + y \cos (x)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\sin (x) y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = x + y \cos (x)$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = x + y \cos (x)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x + y \cos (x) - y \cos (x)$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $x + y \cos (x) - y \cos (x)$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$