Cálculo Exemplos

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $x (t^{2} - 1) d t$ dos dois lados da equação.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $t^{3} - 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $t^{3} - 3 t$ de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ para o numerador.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.3.2

Fatore $x$ de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Etapa 3.4

Fatore $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Etapa 3.4.2

Fatore $t$ de $- 3 t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Etapa 3.4.3

Fatore $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ para o numerador.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.7.2

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.8

Combine $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ e $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Etapa 3.9

Multiplique $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.9.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.9.2

Multiplique $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.11

Para escrever $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.12

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(t^{2} - 3) t$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.12.1

Multiplique $\frac{t}{t^{2} - 3}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.12.2

Reordene os fatores de $(t^{2} - 3) t$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Etapa 3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.14.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 3.14.2

Reescreva $t \cdot t$ como $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 3.14.3

Reordene $- t^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 3.14.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.3.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $t^{2} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.3.2.2

Divida $(1 + t) (1 - t)$ por $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.4

Expanda $(1 + t) (1 - t)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.5.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.1.2

Multiplique $- t$ por $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.1.3

Multiplique $t$ por $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.1.5

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.5.1.5.1

Mova $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.1.5.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.2

Some $- t$ e $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.5.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.6

Reordene $1$ e $- t^{2}$ .

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.7.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7.1.2

Divida $A (t^{2} - 3)$ por $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7.4

Cancele o fator comum de $t^{2} - 3$ .

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Etapa 4.3.1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.1.7.4.2

Divida $(B t + C) (t)$ por $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Etapa 4.3.1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Etapa 4.3.1.1.7.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1.7.6.1

Mova $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Etapa 4.3.1.1.7.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Etapa 4.3.1.1.8

Mova $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Etapa 4.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $t$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = C$

Etapa 4.3.1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $t$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1.3.1

Reescreva a equação como $C = 0$ .

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Etapa 4.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 4.3.1.3.2.1

Reescreva a equação como $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.3.2.2

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1.3.2.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Etapa 4.3.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- \frac{1}{3}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 1 = A + B$ por $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4

Resolva $B$ em $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.4.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{3} + B = - 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.4.2.1

Some $\frac{1}{3}$ aos dois lados da equação.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.5.2

Some $- 3$ e $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Etapa 4.3.1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Etapa 4.3.1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Etapa 4.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.5.2.1

Combine $t$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5.2.3

Some $- \frac{2 t}{3}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Etapa 4.3.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{t^{2} - 3}$ por $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Etapa 4.3.1.5.5

Mova $3$ para a esquerda de $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.1.5.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.1.5.7

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Etapa 4.3.1.5.8

Mova $3$ para a esquerda de $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{t}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Etapa 4.3.8

Deixe $u = t^{2} - 3$ . Depois, $d u = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Deixe $u = t^{2} - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Diferencie $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Etapa 4.3.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{2} - 3$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 4.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Etapa 4.3.8.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 3$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 t + 0$

Etapa 4.3.8.1.5

Some $2 t$ e $0$ .

$2 t$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 4.3.9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 4.3.10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.11.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.11.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.11.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.11.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.11.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 4.3.13

Simplifique.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 4.3.14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Etapa 5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Combine $\ln (| t |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Etapa 5.1.1.2

Combine $\ln (| t^{2} - 3 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ para o numerador.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ para o numerador.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Etapa 5.2.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Etapa 5.5

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Etapa 5.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Etapa 5.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Etapa 5.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Etapa 5.9

Multiplique $t^{2}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Etapa 5.9.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Etapa 5.9.2

Some $2$ e $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Etapa 5.10

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Etapa 5.11

Reescreva $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Etapa 5.12

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.1

Reescreva a equação como ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Etapa 5.12.2

Divida cada termo em ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ por $| t^{3} - 3 t |$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.1

Divida cada termo em ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ por $| t^{3} - 3 t |$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Etapa 5.12.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.2.1

Cancele o fator comum de $| t^{3} - 3 t |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Etapa 5.12.2.2.1.2

Divida ${| x |}^{3}$ por $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Etapa 5.12.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1.1

Fatore $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1.1.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Etapa 5.12.2.3.1.1.2

Fatore $t$ de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.1.3

Fatore $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.3

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1.3.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1.3.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.3.2

Some $1$ e $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.4

Mova $- 3$ para a esquerda de $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Etapa 5.12.2.3.1.5

Fatore $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.2.3.1.5.1

Fatore $t$ de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Etapa 5.12.2.3.1.5.2

Fatore $t$ de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Etapa 5.12.2.3.1.5.3

Fatore $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Etapa 5.12.4

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.1

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Etapa 5.12.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.2.1

Reescreva $e^{3 C}$ como ${(e^{C})}^{3}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Etapa 5.12.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Etapa 5.12.4.3

Multiplique $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Etapa 5.12.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.4.1

Multiplique $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Etapa 5.12.4.4.2

Eleve $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ à potência de $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Etapa 5.12.4.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.12.4.4.4

Some $1$ e $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Etapa 5.12.4.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ como $| t (t^{2} - 3) |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ como ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.12.4.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.12.4.4.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.12.4.4.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.12.4.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.12.4.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Etapa 5.12.4.4.5.5

Simplifique.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.4.5

Reescreva ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.5

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.12.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.2.1

Multiplique $t$ por $t^{2}$ .

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Etapa 5.12.6.2.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.2.2

Some $1$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.4

Remova o valor absoluto em ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.5

Reescreva ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ como $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.6

Expanda $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.12.6.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.12.6.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.12.6.7.1.1

Multiplique $t^{3}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.7.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.1.2

Some $3$ e $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.3

Multiplique $t^{3}$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.7.1.3.1

Mova $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.3.2

Multiplique $t$ por $t^{3}$ .

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Etapa 5.12.6.7.1.3.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.3.3

Some $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.4

Multiplique $t$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.7.1.4.1

Mova $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.4.2

Multiplique $t^{3}$ por $t$ .

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Etapa 5.12.6.7.1.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.4.3

Some $3$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.6

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 5.12.6.7.1.6.1

Mova $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.6.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.1.7

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.7.2

Subtraia $3 t^{4}$ de $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.8

Fatore $t^{2}$ de $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ .

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Etapa 5.12.6.8.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.8.2

Fatore $t^{2}$ de $- 6 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.8.3

Fatore $t^{2}$ de $9 t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.8.4

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.8.5

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.9

Reescreva $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.10

Deixe $u = t^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.11

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.12.6.11.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.11.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 5.12.6.11.3

Reescreva o polinômio.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.11.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 5.12.6.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$