Cálculo Exemplos

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(e^{x} + 1) d x$ dos dois lados da equação.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

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Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{x}}$ para o numerador.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.2

Cancele o fator comum.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.4.3

Reescreva a expressão.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Etapa 3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.4.1

Negative o expoente de $e^{x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Etapa 4.3.4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Etapa 4.3.4.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Etapa 4.3.5

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.5.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.3.5.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.3.5.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Etapa 4.3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.7

Simplifique.

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Etapa 4.3.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Etapa 4.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Etapa 4.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$