Cálculo Exemplos

$(y^{2} - 2 x y + 6) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} - 2 x y + 6$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $y$ é $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6]$

Etapa 1.4

Como $6$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $2 y - 2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x y + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.5

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Etapa 2.9

Some $2 x - 2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Etapa 2.10.2

Combine os termos.

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Etapa 2.10.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Etapa 2.10.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2 x + 2 y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Etapa 5.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Etapa 5.4

Como $- 2 x$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2 x$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Etapa 5.6

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Etapa 5.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Etapa 5.8

Simplifique.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{2} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.5

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x y^{2}$ em relação a $x$ é $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.7

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.8

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.3.10

Some $2 y x - y^{2}$ e $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.5.2

Combine os termos.

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Etapa 8.5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.5.2.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 8.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2}$

Etapa 9.1.2

Some $2 x y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 0 + 2 x y$

Etapa 9.1.3.2

Some $- 2 x y + 6$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 2 x y$

Etapa 9.1.3.3

Some $- 2 x y$ e $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 6$

Etapa 9.1.3.4

Some $0$ e $6$ .

$\frac{d g}{d x} = 6$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $6$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 d x$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (x) = 6 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 6 x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- (- x y^{2})$ .

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Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 6 x + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 6 x + C$