Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 y - x^{2} y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $3 y - x^{2} y$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $3 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 3 - x^{2} y$

Etapa 1.1.2

Fatore $y$ de $- x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = y \cdot 3 + y (- x^{2})$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot 3 + y (- x^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = y (3 - x^{2})$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (3 - x^{2}))$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (3 - x^{2}))$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 3 - x^{2}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (3 - x^{2}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 3 - x^{2} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 3 - x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 3 d x + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} + \int - x^{2} d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} - \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$| y | = e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x + C}$ como $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{x^{3}}{3} + 3 x}$