Cálculo Exemplos

$\frac{y d y}{t d t} = e^{t^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y}{t} \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}}$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{d y}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $\frac{y}{t}$ e $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} = e^{t^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique os dois lados por $t$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Etapa 1.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{t} t = e^{t^{2}} t$

Etapa 1.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d t} = e^{t^{2}} t$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{t^{2}} t$ .

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Etapa 1.2.4

Divida cada termo em $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ por $y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Divida cada termo em $y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$ por $y$ .

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d t}}{y} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t e^{t^{2}}}{y}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d t} = t e^{t^{2}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = t e^{t^{2}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int t e^{t^{2}} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int t e^{t^{2}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u = t^{2}$ . Depois, $d u = 2 t d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 t$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} e^{t^{2}} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} e^{t^{2}} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{t^{2}}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{e^{t^{2}}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = e^{t^{2}} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{e^{t^{2}} + K}$

$y = - \sqrt{e^{t^{2}} + K}$