Cálculo Exemplos

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $t$ aos dois lados da equação.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ por $t^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Fatore $t$ de $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.3.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.2

Para escrever $\frac{y}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $t^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{y}{t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Etapa 1.2.5

Para escrever $\frac{1}{t}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Etapa 1.2.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $t^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $\frac{1}{t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Etapa 1.2.6.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Etapa 1.2.6.3

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Etapa 1.2.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Etapa 1.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.8.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.8.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Etapa 1.2.8.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $t^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(t^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.2

Multiplique $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $t^{- 2}$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $t$ por $t^{- 2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $t$ por $t^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Etapa 2.3.3.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Etapa 2.3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- 2}$ com relação a $t$ é $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Etapa 2.3.6

A integral de $t^{- 1}$ com relação a $t$ é $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Etapa 3.5.2

Multiplique os dois lados por $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $| t |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Etapa 3.5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Etapa 3.5.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.4.1

Reordene os fatores em $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Etapa 3.5.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Etapa 3.5.4.3

Reordene os fatores em $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Etapa 3.5.4.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{- \frac{1}{t} + C}$ como $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- \frac{1}{t}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$