Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 3 y = x + e^{- 2 x}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + e^{3 x} (3 y) = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x} e^{- 2 x}$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{3 x}$ por $e^{- 2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{3 x - 2 x}$

Etapa 2.3.2

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 e^{3 x} y = e^{3 x} x + e^{x}$ .

$e^{3 x} \frac{d y}{d x} + 3 y e^{3 x} = x e^{3 x} + e^{x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] = x e^{3 x} + e^{x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} y] d x = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} + e^{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{3 x} y = \int x e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Etapa 6.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} y = x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Etapa 6.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x + \int e^{x} d x$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x) + \int e^{x} d x$

Etapa 6.5

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.5.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.5.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 6.5.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 6.5.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 6.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int e^{x} d x$

Etapa 6.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int e^{x} d x$

Etapa 6.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u) + \int e^{x} d x$

Etapa 6.8

Simplifique.

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Etapa 6.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Etapa 6.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u + \int e^{x} d x$

Etapa 6.9

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + \int e^{x} d x$

Etapa 6.10

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{3 x} y = \frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C) + e^{x} + C$

Etapa 6.11

Simplifique.

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + e^{x} + C$

Etapa 6.12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{3 x} y = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + e^{x} + C$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} y}{e^{3 x}} = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{1}{3} x e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.1.2

Divida $\frac{1}{3} x$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{- \frac{1}{9} e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.2.2

Divida $- \frac{1}{9}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{x}$ e $e^{3 x}$ .

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Etapa 7.3.1.3.1

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{x}$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{3 x} e^{- 2 x}}{e^{3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + \frac{e^{- 2 x}}{1} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.1.3.2.4

Divida $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.2

Subtraia $\frac{1}{9}$ de $\frac{1}{3} x$ .

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Etapa 7.3.2.1

Reordene $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$y = x \frac{1}{3} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.2.2

Para escrever $x \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = x \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.2.3

Combine $x \frac{1}{3}$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9}{9} - \frac{1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{x \frac{1}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot 9 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.3.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 (3)) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{x}{3} \cdot (3 \cdot 3) - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x \cdot 3 - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.4

Para escrever $e^{- 2 x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + e^{- 2 x} \cdot \frac{9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.5

Simplifique os termos.

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Etapa 7.3.5.1

Combine $e^{- 2 x}$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x - 1}{9} + \frac{e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{3 x - 1 + e^{- 2 x} \cdot 9}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.6.1

Mova $9$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{3 x - 1 + 9 \cdot e^{- 2 x}}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.6.2

Reordene os termos.

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.7

Para escrever $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}}$

Etapa 7.3.8

Para escrever $\frac{C}{e^{3 x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9} \cdot \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 7.3.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9 e^{3 x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.9.1

Multiplique $\frac{3 x + 9 e^{- 2 x} - 1}{9}$ por $\frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C}{e^{3 x}} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 7.3.9.2

Multiplique $\frac{C}{e^{3 x}}$ por $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{e^{3 x} \cdot 9}$

Etapa 7.3.9.3

Reordene os fatores de $e^{3 x} \cdot 9$ .

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x}}{9 e^{3 x}} + \frac{C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{(3 x + 9 e^{- 2 x} - 1) e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{- 2 x} e^{3 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.11.2.1

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $e^{3 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.11.2.1.1

Mova $e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 (e^{3 x} e^{- 2 x}) - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{3 x - 2 x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11.2.1.3

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - 1 e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11.2.2

Reescreva $- 1 e^{3 x}$ como $- e^{3 x}$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + C \cdot 9}{9 e^{3 x}}$

Etapa 7.3.11.3

Mova $9$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{3 x e^{3 x} + 9 e^{x} - e^{3 x} + 9 C}{9 e^{3 x}}$