Cálculo Exemplos

$y e^{x} d x + e^{x} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $y e^{x} d x$ dos dois lados da equação.

$e^{x} d y = - y e^{x} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{e^{x} y}$ .

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{e^{x} (y)} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $y e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{e^{x} y}$ para o numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y e^{x}$ de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} (1)} (y e^{x}) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} \cdot 1} (y e^{x}) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = - 1 d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 1 d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d x$

Etapa 4.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - x + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x + C}$

Etapa 5.2

Reescreva $\ln (| y |) = - x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = | y |$

Etapa 5.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- x + C}$ .

$| y | = e^{- x + C}$

Etapa 5.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x + C}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $e^{- x + C}$ como $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x} e^{C}$

Etapa 6.2

Reordene $e^{- x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x}$

Etapa 6.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- x}$