Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 3$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 3 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{3 x + C_{1}}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{3 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{3 x}$ por $0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

Etapa 7.2

Some $0$ e $C_{2}$ .

$e^{3 x} v = C_{2}$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{3 x} v = C_{2}$ por $e^{3 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{3 x} v = C_{2}$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Etapa 10

Reescreva a equação.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11

Integre os dois lados.

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Etapa 11.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3

Integre o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Etapa 11.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.2.1

Negative o expoente de $e^{3 x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Etapa 11.3.2.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Etapa 11.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Etapa 11.3.2.2.2

Multiplique $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Etapa 11.3.3

Deixe $u = - 3 x$ . Depois, $d u = - 3 d x$ , então, $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 11.3.3.1

Deixe $u = - 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 11.3.3.1.1

Diferencie $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Etapa 11.3.3.1.2

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Etapa 11.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 11.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Etapa 11.3.4

Simplifique.

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Etapa 11.3.4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Etapa 11.3.4.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 11.3.5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Etapa 11.3.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Etapa 11.3.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

Etapa 11.3.8

Simplifique.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

Etapa 11.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 3 x$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

Etapa 11.3.10

Reordene os termos.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

Etapa 11.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$