Cálculo Exemplos

$2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = 5 x^{3} y^{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- \frac{y}{x}}{2} = \frac{5 x^{3} y^{3}}{2}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x} = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}) = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ .

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Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.6.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.6.2.1

Multiplique $v^{\frac{1}{2}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Etapa 5.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.14

Mova $v^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Etapa 5.16

Combine $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Etapa 5.17

Reescreva $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Etapa 5.18

Multiplique $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Etapa 5.19

Eleve $v$ à potência de $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.21

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 5.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Etapa 5.23

Some $2$ e $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} y = \frac{5}{2} x^{3} y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ por $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $2 v^{\frac{3}{2}}$ de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Multiplique $v^{- \frac{1}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.4.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Simplifique $\frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{x \cdot 2} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{1}{2 \cdot x} v (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Combine $v$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.10.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{v}{2 x}$ para o numerador.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (- 1 \cdot (2)) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10.3

Fatore $2$ de $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 (x)} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10.4

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{2 x} (2 \cdot - 1) = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10.5

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v}{x} \cdot - 1 = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.11

Combine $\frac{- v}{x}$ e $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- v \cdot - 1}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.12

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1 v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.13

Multiplique $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5}{2} x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Etapa 7.1.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 1 \cdot 2 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Fatore $2$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = 2 \cdot - 1 \frac{5 x^{3}}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - (5 x^{3}) {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.2.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.5

Multiplique $v^{- \frac{3}{2}}$ por $v^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.5.1

Mova $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 7.1.1.3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.5.4

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{\frac{0}{2}}$

Etapa 7.1.1.3.5.5

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3} v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.6

Simplifique $- 5 x^{3} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{v}{x} = - 5 x^{3}$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $\frac{v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v \frac{1}{x} = - 5 x^{3}$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v = - 5 x^{3}$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d v}{d x} + x (\frac{1}{x} v) = x (- 5 x^{3})$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $v$ .

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d v}{d x} + x \frac{v}{x} = x (- 5 x^{3})$

Etapa 7.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d v}{d x} + v = x (- 5 x^{3})$

Etapa 7.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x \cdot x^{3}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Mova $x^{3}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x)$

Etapa 7.3.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 (x^{3} x^{1})$

Etapa 7.3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{3 + 1}$

Etapa 7.3.4.3

Some $3$ e $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v = - 5 x^{4}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x v] = - 5 x^{4}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int - 5 x^{4} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$x v = \int - 5 x^{4} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.7.1

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$x v = - 5 \int x^{4} d x$

Etapa 7.7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Reescreva $- 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $- 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x v = - 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$x v = \frac{- 5}{5} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.2.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.2.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x v = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x v = \frac{- 1}{1} x^{5} + C$

Etapa 7.7.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$x v = - x^{5} + C$

Etapa 7.8

Divida cada termo em $x v = - x^{5} + C$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Divida cada termo em $x v = - x^{5} + C$ por $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x v}{x} = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{- x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.3.1.1

Fatore $x$ de $- x^{5}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.8.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x (- x^{4})}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{- x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.8.3.1.2.5

Divida $- x^{4}$ por $1$ .

$v = - x^{4} + \frac{C}{x}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 2}$ por $v$ .

$y^{- 2} = - x^{4} + \frac{C}{x}$