Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{3}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{3}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1

Mova $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3.2.3

Some $1$ e $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

Etapa 3.3.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 7.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 7.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Etapa 7.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Simplifique.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 7.6.2

Simplifique.

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Etapa 7.6.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 7.6.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.6.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Etapa 7.6.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{3}$ de $\frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{3}{5} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{3}{5}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 8.3.1.3.1

Fatore $x^{3}$ de $- \frac{1}{2} x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3.2.4

Divida $- \frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4

Combine $x$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$