Cálculo Exemplos

$(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ por $3 + x^{12}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ por $3 + x^{12}$ .

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $3 + x^{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{3 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{3 + x^{12}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{3 + x^{12}}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $\frac{x^{11}}{y}$ por $\frac{1}{3 + x^{12}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{3 + x^{12}} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{(3 + x^{12}) y}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $y$ de $(3 + x^{12}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11}}{y (3 + x^{12})}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + x^{12}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Reescreva $x^{12}$ como ${(x^{12})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{3 + {(x^{12})}^{1}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{1} = x^{12}$ . Depois, $d u_{1} = 12 x^{11} d x$ , então, $\frac{1}{12} d u_{1} = x^{11} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{1} = x^{12}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{12}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{12}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 12$ .

$12 x^{11}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 + u_{1}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique $\frac{1}{3 + u_{1}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(3 + u_{1}) \cdot 12} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.3

Mova $12$ para a esquerda de $3 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{12 (3 + u_{1})} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{3 + u_{1}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5

Deixe $u_{2} = 3 + u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Deixe $u_{2} = 3 + u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $3 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 + u_{1}]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + u_{1}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.3.5.1.3

Como $3$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $3$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 2.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.8.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + u_{1} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.8.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{12}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{12} \ln (| 3 + x^{12} |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $\ln (| 3 + x^{12} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 3 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $12$ para a esquerda de $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ como $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 3.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 3.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 3.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 3.4.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

Etapa 3.4.5

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 3 + x^{12} |) + C)}}{6}$