Cálculo Exemplos

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Etapa 1.2.2

Como $\tan (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\tan (x)$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- \sin (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \sin (x) \sin (y)$ em relação a $y$ é $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Subtraia $\sin (x) \cos (y)$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores de $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Etapa 2.2

Como $\cos (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\cos (x) \cos (y)$ em relação a $x$ é $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Etapa 2.4

Reordene os fatores de $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- \cos (y) \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- \cos (y) \sin (x)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Como $\cos (x)$ é constante com relação a $y$ , mova $\cos (x)$ para fora da integral.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Etapa 5.2

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $\sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\cos (x) \sin (y)$ em relação a $x$ é $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.1.1.1

Simplifique $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 9.1.1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 9.1.1.1.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Etapa 9.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.2.1

Some $\sin (x) \sin (y)$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Etapa 9.1.2.2

Combine os termos opostos em $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

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Etapa 9.1.2.2.1

Some $- \sin (x) \sin (y)$ e $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Etapa 9.1.2.2.2

Some $\tan (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9.1.2.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $\tan (x)$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Etapa 10.3

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$