Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{2 + x^{3}}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{12 x^{2}}{\sqrt{2 + x^{3}}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{2 + x^{3}}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{12 x^{2}}{\sqrt{2 + x^{3}}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 12 \int \frac{x^{2}}{\sqrt{2 + x^{3}}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 2 + x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 2 + x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{3}]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2.1.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Etapa 2.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $12$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

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Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $3$ de $12$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.5.2.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = 4 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y + C_{1} = 8 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = 8 {(2 + x^{3})}^{\frac{1}{2}} + K$