Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 0.7 y$ , $y (0) = 50$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.7 y)$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7 \frac{1}{y} y$

Etapa 1.2.2

Combine $- 0.7$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = - 0.7 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.7 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.7 d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.7 x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - 0.7 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.7 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = - 0.7 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.7 x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{- 0.7 x + C}$ .

$| y | = e^{- 0.7 x + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- 0.7 x + C}$ como $e^{- 0.7 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{- 0.7 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 0.7 x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{- 0.7 x}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $50$ por $y$ em $y = C e^{- 0.7 x}$ .

$50 = C e^{- 0.7 \cdot 0}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$ .

$C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$

Etapa 6.2

Simplifique $C e^{- 0.7 \cdot 0}$ .

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 0.7$ por $0$ .

$C e^{0} = 50$

Etapa 6.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$C \cdot 1 = 50$

Etapa 6.2.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$C = 50$

Etapa 7

Substitua $50$ por $C$ em $y = C e^{- 0.7 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $50$ por $C$ .

$y = 50 e^{- 0.7 x}$