Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1$ ; when $y (0) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (3 x^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$y + C_{1} = x^{3} - x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = x^{3} - x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = x^{3} - x + K$ .

$4 = 0^{3} - 0 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $0^{3} - 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 0 + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique $0^{3} - 0 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 0 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Etapa 4.2.2

Combine os termos opostos em $0 + 0 + K$ .

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + K = 4$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 4$

Etapa 5

Substitua $4$ por $K$ em $y = x^{3} - x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = x^{3} - x + 4$