Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Etapa 3.2

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $\frac{x^{3}}{3}$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Etapa 3.2.3

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Etapa 3.3

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $3$ . Depois, simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{3}}{3}$ para o numerador.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Etapa 3.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Etapa 3.3.3

Mova $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Etapa 3.3.4

Mova $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Etapa 3.3.5

Reordene $3 y^{2}$ e $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Etapa 3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.4.3

Multiplique $- 15$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5

Fatore $3$ de $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.2

Fatore $3$ de $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.3

Fatore $3$ de $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.4

Fatore $3$ de $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.5

Fatore $3$ de $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.6

Fatore $3$ de $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.1.5.7

Fatore $3$ de $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Etapa 3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(0, 11)$ , considere apenas $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $x$ e $11$ por $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.1.3

Multiplique $60$ por $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.1.4

Some $3 + 0 + K$ e $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.1.5

Some $3$ e $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Reordene $3$ e $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique $11$ por $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Etapa 6.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova todos os termos que não contêm $\sqrt{3 (K + 3)}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $3$ de $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Etapa 6.4.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 (K + 3)}$ como ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Simplifique ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.3.2

Simplifique.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Etapa 6.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1

Eleve $63$ à potência de $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Etapa 6.4.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$3 K = 3969 - 9$

Etapa 6.4.4.1.2

Subtraia $9$ de $3969$ .

$3 K = 3960$

Etapa 6.4.4.2

Divida cada termo em $3 K = 3960$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.1

Divida cada termo em $3 K = 3960$ por $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Etapa 6.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Etapa 6.4.4.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Etapa 6.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.2.3.1

Divida $3960$ por $3$ .

$K = 1320$

Etapa 7

Substitua $1320$ por $K$ em $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $1320$ por $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Some $3$ e $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Etapa 7.2.2

Reordene os termos.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$