Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(2 - y)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore ${(2 - y)}^{2}$ de $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 2 - y$ . Depois, $d u_{1} = - d y$ , então, $- d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 - y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.4.1

Mova ${u_{1}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{- 2}$ com relação a $u_{1}$ é $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.1

Reescreva $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ como $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.6.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 - y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$2 - y, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$2 - y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ por $2 - y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ por $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x + 2}$ .

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

Etapa 3.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Etapa 3.2.3.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Etapa 3.2.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ .

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2 e^{x + 2}$ dos dois lados da equação.

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2 K$ dos dois lados da equação.

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $- y e^{x + 2} - K y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $- y e^{x + 2}$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $- K y$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ .

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Etapa 3.3.4

Reescreva $- 1 e^{x + 2}$ como $- e^{x + 2}$ .

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Etapa 3.3.5

Divida cada termo em $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ por $- e^{x + 2} - K$ e simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Divida cada termo em $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ por $- e^{x + 2} - K$ .

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 3.3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.5.2.1

Cancele o fator comum de $- e^{x + 2} - K$ .

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Etapa 3.3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 3.3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 3.3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 3.3.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 3.3.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$