Cálculo Exemplos

$x \cdot \frac{d y}{d x} + y = x^{4} \ln (x)$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = x^{4} \ln (x)$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x^{4} \ln (x) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int x^{4} \ln (x) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{4}$ .

$x y = \ln (x) (\frac{1}{5} x^{5}) - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$x y = \ln (x) \frac{x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{5}}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \int \frac{1}{5} x^{5} \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{5} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{5}}{x} d x)$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x} d x)$

Etapa 5.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} d x)$

Etapa 5.4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 5.4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 5.4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int \frac{x^{4}}{1} d x)$

Etapa 5.4.2.2.5

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - (\frac{1}{5} \int x^{4} d x)$

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \int x^{4} d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.6.1

Reescreva $\frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ como $\frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Etapa 5.6.2

Simplifique.

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Etapa 5.6.2.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (x)$ .

$x y = \frac{\ln (x)}{5} x^{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Etapa 5.6.2.2

Combine $\frac{\ln (x)}{5}$ e $x^{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} x^{5} + C$

Etapa 5.6.2.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} x^{5} + C$

Etapa 5.6.2.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$x y = \frac{\ln (x) x^{5}}{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

$x y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{5} - \frac{1}{25} x^{5} + C$

Etapa 6

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Combine $x^{5}$ e $\frac{1}{25}$ .

$x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$

Etapa 6.1.2

Remova os parênteses.

$x y = \frac{1}{5} \cdot \ln (x) x^{5} - \frac{x^{5}}{25} + C$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $x y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5}) - \frac{x^{5}}{25} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x$ .

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Etapa 6.2.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{5})$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x^{1}} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}))}{x \cdot 1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})}{1} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.1.2.5

Divida $\frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4})$ por $1$ .

$y = \frac{1}{5} \cdot (\ln (x) x^{4}) + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $\frac{1}{5} (\ln (x) x^{4})$ .

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Etapa 6.2.3.1.2.1

Reordene $\ln (x)$ e $\frac{1}{5}$ .

$y = \frac{1}{5} \ln (x) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Simplifique $\frac{1}{5} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{5}$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- \frac{x^{5}}{25}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.3.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{5}}{25}$ para o numerador.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{5}}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.4.2

Fatore $x$ de $- x^{5}$ .

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.4.3

Cancele o fator comum.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{x (- x^{4})}{25} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.4.4

Reescreva a expressão.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} + \frac{- x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$

Etapa 6.2.3.2

Reordene os fatores em $\ln (x^{\frac{1}{5}}) x^{4} - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$ .

$y = x^{4} \ln (x^{\frac{1}{5}}) - \frac{x^{4}}{25} + \frac{C}{x}$