Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $x = e^{r t}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r t}$ .

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Etapa 2.5.1

Fatore $e^{r t}$ de $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Etapa 2.5.2

Fatore $e^{r t}$ de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Etapa 2.5.3

Fatore $e^{r t}$ de $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Etapa 2.5.4

Fatore $e^{r t}$ de $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Etapa 2.5.5

Fatore $e^{r t}$ de $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $10$ de $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Etapa 3.3

Fatore $r^{2} + 4 r - 5$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $4$ .

$- 1, 5$

Etapa 3.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Etapa 3.5

Defina $r - 1$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $r - 1$ como igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$r = 1$

Etapa 3.6

Defina $r + 5$ como igual a $0$ e resolva para $r$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $r + 5$ como igual a $0$ .

$r + 5 = 0$

Etapa 3.6.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$r = - 5$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(r - 1) (r + 5) = 0$ verdadeiro.

$r = 1, - 5$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Etapa 6

Multiplique $t$ por $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$