Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Etapa 1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 1$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int d t}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{t + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{t}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{t}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Etapa 3.2

Reordene os fatores em $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{2}$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Etapa 7.2

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Etapa 7.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Etapa 7.5

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Etapa 7.6

Reescreva $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ como $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ por $e^{t}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 2 t$ por $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3.1.3

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

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Etapa 8.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Etapa 8.3.1.3.2

Divida $2$ por $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$