Cálculo Exemplos

$\frac{3 d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ .

$3 \frac{d y}{d x} - 18 x = - 6 x y$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $18 x$ aos dois lados da equação.

$3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $3 \frac{d y}{d x} = - 6 x y + 18 x$ por $3$ .

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \frac{d y}{d x}}{3} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x y}{3} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (1)} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (- 2 x y)}{3 \cdot 1} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1} + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.1.2.4

Divida $- 2 x y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{18 x}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $18$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $18 x$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 (1)}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{3 (6 x)}{3 \cdot 1}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + \frac{6 x}{1}$

Etapa 1.2.2.3.1.2.2.4

Divida $6 x$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 x y + 6 x$

Etapa 1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 6 x$

Etapa 1.3.1.2

Fatore $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y) + 2 x (3)$

Etapa 1.3.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (- 1 y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- 1 y + 3)$

Etapa 1.3.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (- y + 3)$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- y + 3} (2 x (- y + 3))$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Etapa 1.5.2

Combine $2$ e $\frac{1}{- y + 3}$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} (x (- y + 3))$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $- y + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $- y + 3$ de $x (- y + 3)$ .

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{- y + 3} ((- y + 3) x)$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{- y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{1}{- y + 3} d y = 2 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{- y + 3} d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u = - y + 3$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = - y + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.2.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.2

Divida a fração em diversas frações.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y + 3$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$- \ln (| - y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $- \ln (| - y + 3 |) = x^{2} + C$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - y + 3 |)}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| - y + 3 |)}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $\ln (| - y + 3 |)$ por $1$ .

$\ln (| - y + 3 |) = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - 1 \cdot x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} + \frac{C}{- 1}$

Etapa 3.1.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - 1 \cdot C$

Etapa 3.1.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$

Etapa 3.2

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| - y + 3 |)} = e^{- x^{2} - C}$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (| - y + 3 |) = - x^{2} - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x^{2} - C} = | - y + 3 |$

Etapa 3.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$ .

$| - y + 3 | = e^{- x^{2} - C}$

Etapa 3.4.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$- y + 3 = \pm e^{- x^{2} - C}$

Etapa 3.4.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $- y = \pm e^{- x^{2} - C} - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1} + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm e^{- x^{2} - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm e^{- x^{2} - C})$ como $- (\pm e^{- x^{2} - C})$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + \frac{- 3}{- 1}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2} - C}) + 3$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = - (\pm e^{- x^{2} + C}) + 3$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{- x^{2} + C}$ como $e^{- x^{2}} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{- x^{2}} e^{C}) + 3$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x^{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{- x^{2}}) + 3$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = - (C e^{- x^{2}}) + 3$