Cálculo Exemplos

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $r$ .

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Etapa 1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{r}$ para o numerador.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $r$ de $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Etapa 1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Etapa 1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{r}$ com relação a $r$ é $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $θ$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Etapa 2.3.2

A integral de $\tan (θ)$ com relação a $θ$ é $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Etapa 3

Resolva $r$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Etapa 3.4

Para resolver $r$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Etapa 3.6

Resolva $r$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Etapa 3.6.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Etapa 3.6.3

Divida cada termo em $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ por $\sec (θ)$ e simplifique.

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Etapa 3.6.3.1

Divida cada termo em $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ por $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Etapa 3.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $\sec (θ)$ .

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Etapa 3.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Etapa 3.6.3.2.1.2

Divida $r$ por $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Etapa 3.6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.6.3.3.1

Separe as frações.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Etapa 3.6.3.3.2

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Etapa 3.6.3.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Etapa 3.6.3.3.4

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Etapa 3.6.3.3.5

Divida $\pm e^{C}$ por $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Etapa 3.6.3.3.6

Reordene os fatores em $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$r = \cos (θ) C$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $π$ por $θ$ e $2$ por $r$ em $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $\cos (π) C = 2$ por $\cos (π)$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $\cos (π) C = 2$ por $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (π)$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Separe as frações.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Etapa 6.2.3.2

Converta de $\frac{1}{\cos (π)}$ em $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Etapa 6.2.3.3

Divida $2$ por $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Etapa 6.2.3.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$C = 2 (- \sec (0))$

Etapa 6.2.3.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.2.3.6

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 6.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Etapa 6.2.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$C = - 2$

Etapa 7

Substitua $- 2$ por $C$ em $r = \cos (θ) C$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $- 2$ por $C$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Etapa 7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$