Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Fatore $y + 1$ de $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Etapa 1.4.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Etapa 1.4.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Etapa 1.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.5.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.1.6.4.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Etapa 2.3.1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Etapa 2.3.1.1.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Etapa 2.3.1.1.7

Mova $- 2 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.3.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Etapa 2.3.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 1 = - 2 A + 2 B$ por $1 - B$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1

Simplifique $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.2.2.1.2

Some $2 B$ e $2 B$ .

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3

Resolva $B$ em $- 1 = - 2 + 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 + 4 B = - 1$ .

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.1

Divida cada termo em $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Etapa 2.3.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{4}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{1}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.4.2.1.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

Etapa 2.3.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Etapa 2.3.1.5.4

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{3}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{4}$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 2.3.7

Deixe $u_{3} = x - 2$ . Depois, $d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Deixe $u_{3} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 2.3.7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.7.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x - 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\frac{3}{4}$ e $\ln (| x + 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| x - 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ por $4$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ por $4$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Mova $4$ para a esquerda de $\ln (| y + 1 |)$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Etapa 3.2.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Etapa 3.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Etapa 3.2.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

Etapa 3.2.3.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $C$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $4 \ln (| y + 1 |)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique $4 \ln (| y + 1 |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Etapa 3.3.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y + 1 |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique $3 \ln (| x + 2 |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

Etapa 3.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

Etapa 3.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

Etapa 3.9.2

Multiplique os dois lados por ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Etapa 3.9.3

Simplifique.

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Etapa 3.9.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.9.3.1.1

Cancele o fator comum de ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

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Etapa 3.9.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Etapa 3.9.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Etapa 3.9.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.9.3.2.1

Remova os parênteses.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

Etapa 3.9.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.9.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9.4.2

Simplifique $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

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Etapa 3.9.4.2.1

Reescreva $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ como ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ .

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Etapa 3.9.4.2.1.1

Reescreva $e^{4 C}$ como ${(e^{C})}^{4}$ .

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9.4.2.1.2

Adicione parênteses.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

Etapa 3.9.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.9.4.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9.4.3.2

Reordene os fatores em $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Etapa 3.9.4.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Etapa 3.9.4.3.4

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Etapa 3.9.4.3.5

Reordene os fatores em $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Etapa 3.9.4.3.6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Etapa 3.9.4.3.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$