Cálculo Exemplos

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$ , $I (0) = 0$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 5$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 5 d t}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{5 t + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{5 t}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{5 t}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

Etapa 2.3

Mova $10$ para a esquerda de $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $10$ é constante com relação a $t$ , mova $10$ para fora da integral.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

Etapa 6.2

Deixe $u = 5 t$ . Depois, $d u = 5 d t$ , então, $\frac{1}{5} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = 5 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 6.2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 6.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.5

Simplifique.

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Etapa 6.5.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

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Etapa 6.5.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.5.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 6.5.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

Etapa 6.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

Etapa 6.7

Simplifique.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

Etapa 6.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ por $e^{5 t}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ por $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{5 t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $I$ por $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{5 t}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

Etapa 8

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $0$ por $I$ em $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ .

$0 = 2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}}$

Etapa 9

Resolva $C$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$ .

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Etapa 9.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 0$

Etapa 9.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$2 + C = 0$

Etapa 9.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$C = - 2$

Etapa 10

Substitua $- 2$ por $C$ em $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Substitua $- 2$ por $C$ .

$I = 2 + \frac{- 2}{e^{5 t}}$

Etapa 10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$I = 2 - \frac{2}{e^{5 t}}$