Cálculo Exemplos

$(x^{2} y^{3} + y + x - 2) d x + (x^{3} y^{2} + x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x^{2} y^{3} + y + x - 2$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3} + y + x - 2]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{3} + y + x - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x^{2} y^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2} y^{3}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.4.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Etapa 1.4.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0 + 0$

Etapa 1.5

Combine os termos.

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Etapa 1.5.1

Some $3 x^{2} y^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $3 x^{2} y^{2} + 1$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2} + x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} y^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} x^{2} + 1$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $3 x^{2} y^{2} + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $3 x^{2} y^{2} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$3 x^{2} y^{2} + 1 = 3 x^{2} y^{2} + 1$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} + x d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x^{3} y^{2} + x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int x^{3} y^{2} d y + \int x d y$

Etapa 5.2

Como $x^{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $x^{3}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x^{3} \int y^{2} d y + \int x d y$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int x d y$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = x^{3} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + x y + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} (\frac{y^{3}}{3} + C) + x y + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + C$

Etapa 5.7

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3} y^{3}]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{x^{3}}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} y^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3} y^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.5

Combine $3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{3 y^{3}}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{3 y^{3}}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 8.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y^{3} x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.3.7.2

Divida $y^{3} x^{2}$ por $1$ .

$y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{3} x^{2} + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y^{3} x^{2} + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.4.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x^{2} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y^{3} x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + y = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2}$

Etapa 9.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $x^{2} y^{3} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$ .

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Etapa 9.1.3.1

Reorganize os fatores nos termos $x^{2} y^{3}$ e $- y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x^{2} + y + x - 2 - y^{3} x^{2} - y$

Etapa 9.1.3.2

Subtraia $y^{3} x^{2}$ de $y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 + 0 - y$

Etapa 9.1.3.3

Some $y + x - 2$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y + x - 2 - y$

Etapa 9.1.3.4

Subtraia $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2 + 0$

Etapa 9.1.3.5

Some $x - 2$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x - 2$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x - 2$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x - 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x - 2 d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x - 2 d x$

Etapa 10.3

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = \int x d x + \int - 2 d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x$

Etapa 10.5

Aplique a regra da constante.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C$

Etapa 10.6

Simplifique.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} x^{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{3} y^{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{x^{3}}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3} y^{3}}{3} + x y + \frac{x^{2}}{2} - 2 x + C$