Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x}$ of $y = x^{3}$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 2.1.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} \cdot y = x^{3}$ por $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} \cdot y}{y} = \frac{x^{3}}{y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3}}{y}$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{3}}{y}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Etapa 2.4

Reescreva a equação.

$y d y = x^{3} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int x^{3} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{3} d x$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{4} x^{4} + K$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{4} x^{4} + K)$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{4}}{4} + K)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 (2)} + 2 K$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{x^{4}}{2 \cdot 2} + 2 K$

Etapa 4.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{x^{4}}{2} + 2 K$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$

Etapa 4.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K}$ .

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Etapa 4.4.1

Para escrever $2 K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + 2 K \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.4.2

Combine $2 K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4}}{2} + \frac{2 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 2 K \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.4.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$

Etapa 4.4.5

Reescreva $\sqrt{\frac{x^{4} + 4 K}{2}}$ como $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.4.6

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.4.7

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.7.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{4} + 4 K}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.4.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 4.4.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 4.4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.4.7.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 4.4.7.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{4} + 4 K} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.4.8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$

Etapa 4.4.9

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(x^{4} + 4 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + 4 K)}}{2}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x^{4} + K)}}{2}$