Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 4$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 4$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 2.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot 4$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 4$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 4$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 4$

Etapa 3.3

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 4 x d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$x y = 4 \int x d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 7.3.2

Simplifique.

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Etapa 7.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Etapa 7.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x y = 2 x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 8.3.1.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$