Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$ and $y (7) = - 2$ ?

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = x - 6$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = x - 6$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $7$ por $x$ e $- 2$ por $y$ em $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ .

$- 2 = 4 \ln (| 7 - 6 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$ .

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$

Etapa 4.2

Simplifique $4 \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Subtraia $6$ de $7$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = - 2$

Etapa 4.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$4 \ln (1) + C = - 2$

Etapa 4.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$4 \cdot 0 + C = - 2$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + C = - 2$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $C$ .

$C = - 2$

Etapa 5

Substitua $- 2$ por $C$ em $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- 2$ por $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) - 2$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique $4 \ln (| x - 6 |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y = \ln ({| x - 6 |}^{4}) - 2$

Etapa 5.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x - 6 |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \ln ({(x - 6)}^{4}) - 2$