Cálculo Exemplos

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Etapa 2.4

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

Etapa 2.6

Como $\frac{1}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{3}}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

Etapa 2.8

Combine frações.

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Etapa 2.8.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

Etapa 2.8.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

Etapa 2.8.3

Combine $\frac{- 3}{x}$ e $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

Etapa 2.8.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- \frac{3 y^{2}}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{3 y^{2}}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $y^{2}$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $y^{2}$ por $N$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

Etapa 5.3.2

Some $- \frac{3 y^{2}}{x}$ e $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

Etapa 5.3.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 y^{2}}{x}$ para o numerador.

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 5.3.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 5.3.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Combine $- x^{2}$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.4

Reescreva $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.5

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = - x$ e $b = y$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.6

Simplifique.

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Etapa 7.4.4.6.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.6.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.4.4.6.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.6

Combine.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.7

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.7.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

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Etapa 7.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.7.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.8

Multiplique $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ por $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.9

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.10

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.11

Fatore $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.12

Reescreva $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 7.14

Multiplique $y^{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.15

Combine $y^{2}$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Como $\frac{1}{x^{3}}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{x^{3}}$ para fora da integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 9.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2

Simplifique.

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Etapa 9.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{x^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.3

Multiplique $3$ por $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Etapa 9.3.2.4

Combine $\frac{1}{3 x^{3}}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $\frac{y^{3}}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ em relação a $x$ é $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.8

Combine $- 3$ e $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.9

Combine $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ e $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.10

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11

Cancele o fator comum de $- 3$ e $3$ .

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Etapa 12.3.11.1

Fatore $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.11.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.3.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 12.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.3.1

Expanda $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.3.2.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.3.2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.3.2.5.1

Mova $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.6

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 13.1.1.3.2.6.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

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Etapa 13.1.1.3.2.6.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.6.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2.6.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3

Combine os termos opostos em $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

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Etapa 13.1.1.3.3.1

Reorganize os fatores nos termos $- x^{2} y$ e $y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3.2

Some $- x^{2} y$ e $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3.3

Some $x^{3} + x y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3.4

Reorganize os fatores nos termos $x y^{2}$ e $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3.5

Subtraia $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3.6

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Combine os termos opostos em $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ .

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Etapa 13.1.1.4.1

Some $- y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 13.1.1.5.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1.1.5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- \frac{1}{x}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 14.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Etapa 14.5

Simplifique.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$