Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 6 x + 2$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 1.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\ln (x)}$

Etapa 1.4

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (6 x) + x \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (6 x) + x \cdot 2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (6 x) + x \cdot 2$

Etapa 2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x \cdot x + x \cdot 2$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1

Mova $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 (x \cdot x) + x \cdot 2$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + x \cdot 2$

Etapa 2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 x$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 x$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 x d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Divida a integral única em várias integrais.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 x d x$

Etapa 6.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x$

Etapa 6.4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 6.6

Simplifique.

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Etapa 6.6.1

Simplifique.

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2

Simplifique.

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Etapa 6.6.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 6.6.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.6.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.6.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x y = 2 x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.4.2

Reescreva a expressão.

$x y = 2 x^{3} + 1 x^{2} + C$

Etapa 6.6.2.5

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $x y = 2 x^{3} + x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 7.3.1.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.1.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 7.3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.3

Cancele o fator comum.

$y = 2 x^{2} + \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.4

Reescreva a expressão.

$y = 2 x^{2} + \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Etapa 7.3.1.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$y = 2 x^{2} + x + \frac{C}{x}$