Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ como $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.2

Expanda $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.3.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.1.2

Some $x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.3.1

Mova $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.3.3

Some $- x$ e $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.4

Simplifique $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.5

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.5.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.6

Simplifique $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Etapa 2.3.1.3.1.8

Multiplique $e^{- x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1.8.1

Mova $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Etapa 2.3.1.3.1.8.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Etapa 2.3.1.3.1.8.3

Subtraia $x$ de $- x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.1.3.1.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.1.3.1.10

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.1.3.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.3.3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.4

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.6

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.7

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 2.3.8

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 2.3.8.1

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 2.3.8.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3.8.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.8.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Etapa 2.3.14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Etapa 2.3.14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Etapa 2.3.15

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$