Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Divida a fração $\frac{y + \ln (x)}{x}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $\frac{y}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $- \frac{1}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 1}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Etapa 3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Etapa 3.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Etapa 3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Etapa 3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 7.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Etapa 7.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Etapa 7.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Etapa 7.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Etapa 7.3.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.5.1

Simplifique.

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Etapa 7.5.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.5.1.2

Multiplique $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ por $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7.5.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.5.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 7.5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Etapa 7.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Etapa 7.7

Reescreva $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ como $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 8.1.1

Some $\frac{\ln (x)}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Etapa 8.1.2

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Etapa 8.1.3

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Etapa 8.1.4

Combine $\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 8.2.1

Subtraia $\frac{\ln (x)}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $\frac{1}{x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Etapa 8.2.3

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Etapa 8.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4

Simplifique.

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Etapa 8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Etapa 8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.2.1

Simplifique $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

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Etapa 8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 8.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (x)}{x}$ para o numerador.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.4.2.1.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Etapa 8.4.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Etapa 8.4.2.1.3

Mova $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Etapa 8.4.2.1.4

Reordene $- \ln (x)$ e $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$