Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{5 x^{3}} - \frac{3 y}{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Some $\frac{3 y}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{3}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{3 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{3})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{3}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{3}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3}{x}$ e $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{6}{5 x^{3}}$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{6}{x^{3} \cdot 5}$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} \frac{6}{x^{3} \cdot 5}$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{6}{5}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = \frac{6}{5}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int \frac{6}{5} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{3} y = \int \frac{6}{5} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$x^{3} y = \frac{6}{5} x + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{6}{5} x + C$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{3} y = \frac{6}{5} x + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{5} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{6}{5} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{6}{5} x}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x$ de $\frac{6}{5} x$ .

$y = \frac{x \frac{6}{5}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \frac{6}{5}}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x \frac{6}{5}}{x \cdot x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{6}{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.3

Combine.

$y = \frac{6 \cdot 1}{5 x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$

Etapa 8.3.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$y = \frac{6}{5 x^{2}} + \frac{C}{x^{3}}$