Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2}$ , $y (0) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{2} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ .

$4 = \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 4$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$0 + K = 4$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $K$ .

$K = 4$

Etapa 5

Substitua $4$ por $K$ em $y = \frac{1}{3} x^{3} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $4$ por $K$ .

$y = \frac{1}{3} x^{3} + 4$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{3} + 4$