Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}) d x + (e^{x + y} - 2 x + 4) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Etapa 1.2.2

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [e^{x + y}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{x + y}]$ .

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x + y$ .

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Etapa 1.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 1.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{u} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 1.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 1.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} (0 + 1)$

Etapa 1.4.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y} \cdot 1$

Etapa 1.4.6

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + e^{x + y}$

Etapa 1.5

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + e^{x + y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x + 4]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + y} - 2 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.5.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $e^{x + y} - 2$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x + y} - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 2 + e^{x + y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $e^{x + y} - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 2 + e^{x + y} = e^{x + y} - 2$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{x + y} - 2 x + 4 d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{x + y} - 2 x + 4$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int e^{x + y} d y + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Etapa 5.2

Deixe $u = x + y$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.2.1

Deixe $u = x + y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Diferencie $x + y$ .

$\frac{d}{d y} [x + y]$

Etapa 5.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 5.2.1.3

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 5.2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 5.2.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 5.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Etapa 5.3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 2 x d y + \int 4 d y$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + \int 4 d y$

Etapa 5.5

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{u} + C - 2 x y + C + 4 y + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = e^{u} - 2 x y + 4 y + C$

Etapa 5.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + y}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x + y}]$ .

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Etapa 8.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 8.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x + y} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.5

Some $1$ e $0$ .

$e^{x + y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.3.6

Multiplique $e^{x + y}$ por $1$ .

$e^{x + y} + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- 2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x y$ em relação a $x$ é $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x + y} - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x + y} - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.5

Como $4 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.6

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{x + y} - 2 y + 0 + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.7

Simplifique.

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Etapa 8.7.1

Some $e^{x + y} - 2 y$ e $0$ .

$e^{x + y} - 2 y + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 8.7.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - 2 y + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Some $2 y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + e^{x + y} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y$

Etapa 9.1.2

Subtraia $e^{x + y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $3 x^{2} - 2 y + e^{x + y} + 2 y - e^{x + y}$ .

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Etapa 9.1.3.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0 + e^{x + y} - e^{x + y}$

Etapa 9.1.3.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + e^{x + y} - e^{x + y}$

Etapa 9.1.3.3

Subtraia $e^{x + y}$ de $e^{x + y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Etapa 9.1.3.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $3 x^{2}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 10.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Etapa 10.5.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{x + y} - 2 x y + 4 y + x^{3} + C$