Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{y}$ e $y (1) = - 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = 2 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{2 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2}) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 (x^{2}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$

Etapa 4

Como $y$ é negativo na condição inicial $(1, - 3)$ , considere apenas $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $1$ por $x$ e $- 3$ por $y$ .

$- 3 = - \sqrt{2 (1^{2} + K)}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$ .

$- \sqrt{2 (1^{2} + K)} = - 3$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- \sqrt{2 (1^{2} + K)})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (1^{2} + K)}$ como ${(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${(- {(2 (1^{2} + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

${(- {(2 (1 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(- {(2 \cdot 1 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

${(- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.2

Aplique a regra do produto a $- {(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 {({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.4

Multiplique ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ por $1$ .

${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.5

Multiplique os expoentes em ${({(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.3.5.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 + 2 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3.5.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 + 2 K)}^{1} = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4

Simplifique.

$2 + 2 K = {(- 3)}^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$2 + 2 K = 9$

Etapa 5.4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 K = 9 - 2$

Etapa 5.4.1.2

Subtraia $2$ de $9$ .

$2 K = 7$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 K = 7$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 K = 7$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{7}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{7}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{7}{2}$ por $K$ em $y = - \sqrt{2 (x^{2} + K)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $\frac{7}{2}$ por $K$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} + \frac{7}{2})}$

Etapa 6.2

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2})}$

Etapa 6.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (\frac{x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{7}{2})}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = - \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot 2 + 7}{2}}$

Etapa 6.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = - \sqrt{2 \frac{2 x^{2} + 7}{2}}$

Etapa 6.6

Combine $2$ e $\frac{2 x^{2} + 7}{2}$ .

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Etapa 6.7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Reduza a expressão $\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Cancele o fator comum.

$y = - \sqrt{\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{2}}$

Etapa 6.7.1.2

Reescreva a expressão.

$y = - \sqrt{\frac{2 x^{2} + 7}{1}}$

Etapa 6.7.2

Divida $2 x^{2} + 7$ por $1$ .

$y = - \sqrt{2 x^{2} + 7}$