Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (x^{3} + 2) y^{3}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{3} + 2) y^{3})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{3}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $y^{3}$ de $(x^{3} + 2) y^{3}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{3} + 2))$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{3} + 2$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{3}} d y = (x^{3} + 2) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 3}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} + 2 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int x^{3} d x + \int 2 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + \int 2 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2} + 2 x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{4} x^{4} + 2 x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y^{2}, 4, 1, 1$

Etapa 3.2.2

Como $2 y^{2}, 4, 1, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 y^{2}, 4, 1, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $2 y^{2}, 4, 1, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.5

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $2, 4, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2 \cdot 2$

Etapa 3.2.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 3.2.9

Os fatores para $y^{2}$ são $y \cdot y$ , que é $y$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 3.2.10

O MMC de $y^{2}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y \cdot y$

Etapa 3.2.11

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Etapa 3.2.12

O MMC de $2 y^{2}, 4, 1, 1$ é a parte numérica $4$ multiplicada pela parte variável.

$4 y^{2}$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ por $4 y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{x^{4}}{4} + 2 x + K$ por $4 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2 y^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2 y^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (4 y^{2}) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $2 y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (2)) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} \cdot 2) = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = \frac{x^{4}}{4} (4 y^{2}) + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 2 = 4 \frac{x^{4}}{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 x (4 y^{2}) + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 2 \cdot 4 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + K (4 y^{2})$

Etapa 3.3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$ .

$x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{2}$ de $x^{4} y^{2} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y^{2}$ de $x^{4} y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + 8 x y^{2} + 4 K y^{2} = - 2$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y^{2}$ de $8 x y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + 4 K y^{2} = - 2$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y^{2}$ de $4 K y^{2}$ .

$y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x^{4} + y^{2} (8 x)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K) = - 2$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} (x^{4} + 8 x) + y^{2} (4 K)$ .

$y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$

Etapa 3.4.3

Divida cada termo em $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ por $x^{4} + 8 x + 4 K$ e simplifique.

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Etapa 3.4.3.1

Divida cada termo em $y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K) = - 2$ por $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Etapa 3.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4} + 8 x + 4 K$ .

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Etapa 3.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2} (x^{4} + 8 x + 4 K)}{x^{4} + 8 x + 4 K} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Etapa 3.4.3.2.1.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{- 2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Etapa 3.4.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{2} = - \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}$

Etapa 3.4.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Etapa 3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Etapa 3.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Etapa 3.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + 4 K}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2}{x^{4} + 8 x + K}}$