Cálculo Exemplos

$(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ por $8 + x^{12}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y}$ por $8 + x^{12}$ .

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $8 + x^{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(8 + x^{12}) \frac{d y}{d x}}{8 + x^{12}} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{11}}{y}}{8 + x^{12}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{8 + x^{12}}$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + x^{12}}$

Etapa 1.1.3.2.2

Reescreva $x^{12}$ como ${(x^{4})}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{2^{3} + {(x^{4})}^{3}}$

Etapa 1.1.3.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = 2$ e $b = x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (2^{2} - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

Etapa 1.1.3.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{4})}^{2})}$

Etapa 1.1.3.2.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{4 \cdot 2})}$

Etapa 1.1.3.2.4.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y} \cdot \frac{1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

Etapa 1.1.3.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Combine.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

Etapa 1.1.3.3.2

Multiplique $x^{11}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{y (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $y$ de $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{11} \cdot 1}{y ((2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}))}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11} \cdot 1}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $x^{11}$ por $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{11}}{(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{\sqrt{u_{1}}}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ como ${u_{1}}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.1.4.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {\sqrt{u_{1}}}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {\sqrt{u_{1}}}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{4}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{\frac{2}{1}} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.3.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {\sqrt{u_{1}}}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{8}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{\frac{4}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.4.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.5

Multiplique $\frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4}) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 2.3.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{{u_{1}}^{5}}{2 (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{1}}^{5}}{(2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {u_{1}}^{4})} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 2.3.4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{\sqrt{u_{2}}}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{4}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{2}{1}}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {\sqrt{u_{2}}}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{4}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{\frac{2}{1}})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.4

Mova $2$ para a esquerda de $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

Deixe $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ . Depois, $d u_{3} = 3 {u_{2}}^{2} d u_{2}$ , então, $\frac{1}{3} d u_{3} = {u_{2}}^{2} d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 2.3.8.1

Deixe $u_{3} = (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Etapa 2.3.8.1.1

Diferencie $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})]$

Etapa 2.3.8.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2}) g (u_{2})]$ é $f (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [g (u_{2})] + g (u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [f (u_{2})]$ , em que $f (u_{2}) = 2 + u_{2}$ e $g (u_{2}) = 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ .

$(2 + u_{2}) \frac{d}{d u_{2}} [4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}] + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [4] + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.2

Como $4$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $4$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$(2 + u_{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [- 2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- 2 u_{2}$ em relação a $u_{2}$ é $- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [2 + u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [2] + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

Etapa 2.3.8.1.3.9

Como $2$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $2$ em relação a $u_{2}$ é $0$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) (0 + \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}])$

Etapa 2.3.8.1.3.10

Some $0$ e $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Etapa 2.3.8.1.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) \cdot 1$

Etapa 2.3.8.1.3.12

Multiplique $4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$ por $1$ .

$(2 + u_{2}) (- 2 + 2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.8.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 + u_{2}) \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + (2 + u_{2}) (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot - 2 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4

Combine os termos.

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Etapa 2.3.8.1.4.4.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 + u_{2} \cdot - 2 + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$- 4 - 2 \cdot u_{2} + 2 (2 u_{2}) + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + u_{2} (2 u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.4

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} u_{2}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.5

Eleve $u_{2}$ à potência de $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1}) + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{1 + 1} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.7

Some $1$ e $1$ .

$- 4 - 2 u_{2} + 4 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.8

Some $- 2 u_{2}$ e $4 u_{2}$ .

$- 4 + 2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.9

Some $- 4$ e $4$ .

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} + 0 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.10

Some $2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2}$ e $0$ .

$2 u_{2} + 2 {u_{2}}^{2} - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.11

Subtraia $2 u_{2}$ de $2 u_{2}$ .

$2 {u_{2}}^{2} + 0 + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.12

Some $2 {u_{2}}^{2}$ e $0$ .

$2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.1.4.4.13

Some $2 {u_{2}}^{2}$ e ${u_{2}}^{2}$ .

$3 {u_{2}}^{2}$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{3} d u_{3}$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Multiplique $\frac{1}{u_{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 3} d u_{3}$

Etapa 2.3.9.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{3 u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.11.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.12

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} (\ln (| u_{3} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.13

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| u_{3} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 2.3.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $(2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2})$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + u_{2}) (4 - 2 u_{2} + {u_{2}}^{2}) |) + C_{2}$

Etapa 2.3.14.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {u_{1}}^{2}) (4 - 2 {u_{1}}^{2} + {({u_{1}}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

Etapa 2.3.14.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + {(x^{2})}^{2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{2 \cdot 2}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 {(x^{2})}^{2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{2 \cdot 2} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {({(x^{2})}^{2})}^{2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{2 \cdot 2}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + {(x^{2})}^{4}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{2 \cdot 4}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| (2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8}) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Expanda $(2 + x^{4}) (4 - 2 x^{4} + x^{8})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 2 \cdot 4 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.4.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 (- 2 x^{4}) + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + x^{4} \cdot 4 + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.3

Mova $4$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 \cdot x^{4} + x^{4} (- 2 x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4} x^{4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.5

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1.1.4.5.1

Mova $x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 (x^{4} x^{4}) + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{4 + 4} + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.5.3

Some $4$ e $4$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4} x^{8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.6

Multiplique $x^{4}$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.2.1.1.4.6.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{4 + 8} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.4.6.2

Some $4$ e $8$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.5

Combine os termos opostos em $8 - 4 x^{4} + 2 x^{8} + 4 x^{4} - 2 x^{8} + x^{12}$ .

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Etapa 3.2.2.1.1.5.1

Some $- 4 x^{4}$ e $4 x^{4}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} + 0 - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.5.2

Some $8 + 2 x^{8}$ e $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 2 x^{8} - 2 x^{8} + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.5.3

Subtraia $2 x^{8}$ de $2 x^{8}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + 0 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.5.4

Some $8$ e $0$ .

$y^{2} = 2 (\frac{1}{12} \ln (| 8 + x^{12} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.6

Combine $\frac{1}{12}$ e $\ln (| 8 + x^{12} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + C \cdot \frac{12}{12})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{12}{12}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 8 + x^{12} |)}{12} + \frac{C \cdot 12}{12})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{12}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Fatore $2$ de $12$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 (6)}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{2 \cdot 6}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + C \cdot 12}{6}$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $12$ para a esquerda de $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ .

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Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}{6}}$ como $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C}}{\sqrt{6}}$ por $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Etapa 3.4.3.3

Eleve $\sqrt{6}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Etapa 3.4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 3.4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Etapa 3.4.3.6.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C} \sqrt{6}}{6}$

Etapa 3.4.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$

Etapa 3.4.5

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C) \cdot 6}}{6}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + 12 C)}}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (\ln (| 8 + x^{12} |) + C)}}{6}$