Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ por $6 x - 2 x y$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y) = 1$ por $6 x - 2 x y$ .

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $6 x - 2 x y$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d x}{d y} (6 x - 2 x y)}{6 x - 2 x y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d x}{d y}$ por $1$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{6 x - 2 x y}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.3.1.1

Fatore $2 x$ de $6 x - 2 x y$ .

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Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $2 x$ de $6 x$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) - 2 x y}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Fatore $2 x$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3) + 2 x (- 1 y)}$

Etapa 1.1.3.1.1.3

Fatore $2 x$ de $2 x (3) + 2 x (- 1 y)$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - 1 y)}$

Etapa 1.1.3.1.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $2 x$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x (\frac{1}{2 x} \cdot \frac{1}{3 - y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{3 - y}$ .

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $2 x$ .

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Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 x \frac{d x}{d y} = 2 x \frac{1}{2 x (3 - y)}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 x \frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 - y}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$2 x d x = \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 2 x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x d x = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1}) = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{1})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{3 - y} d y$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = 3 - y$ . Depois, $d u = - d y$ , então, $- d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = 3 - y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x^{2} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.2

Divida a fração em diversas frações.

$x^{2} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x^{2} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x^{2} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - y$ .

$x^{2} + C_{1} = - \ln (| 3 - y |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$x^{2} = - \ln (| 3 - y |) + C$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Etapa 3.2

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.2.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Etapa 3.2.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

Etapa 3.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$

$x = - \sqrt{- \ln (| 3 - y |) + C}$