Cálculo Exemplos

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\arctan (x) + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.2.2

Como $\arctan (x)$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\arctan (x)$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Etapa 1.4

Some $0$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.2.2

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 2.3.3

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Etapa 2.3.4

Combine $\frac{2}{2}$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Etapa 2.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Etapa 2.3.5.2

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Etapa 2.4

Some $0$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$x = x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Etapa 5.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Etapa 5.3

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Etapa 5.4

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Etapa 5.5

Simplifique.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.2.2

Como $e^{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{y}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.3

Como $\frac{y}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} y}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.5

Combine $2$ e $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{2 y}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.7.1

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.3.7.2

Divida $y x$ por $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Some $0$ e $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $\arctan (x) + x y - x y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $\arctan (x)$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $\arctan (x)$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Etapa 10.3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (x)$ e $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 10.4

Combine $x$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 10.5

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.5.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.5.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 10.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 10.5.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 10.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 10.6

Simplifique.

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Etapa 10.6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 10.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Etapa 10.6.3

Multiplique $2$ por $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 10.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 10.8

Remova os parênteses.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 10.9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10.10

Simplifique.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 10.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 12.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 12.1.3

Multiplique $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

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Etapa 12.1.3.1

Reordene $\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Etapa 12.1.3.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 12.2

Para escrever $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 12.3

Combine $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 12.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 12.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Etapa 12.5.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Etapa 12.5.1.2

Simplifique $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Etapa 12.5.2

Multiplique os expoentes em ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 12.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 12.5.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Etapa 12.5.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Etapa 12.5.3

Simplifique.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Etapa 12.6

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$